Module III (période 5-16 mars)

Modèles mathématiques pour le cancer

Coordonné par A. Habbal (Université de Nice laboratoire JAD / INRIA Projet OPALE ) et P-E Jabin (Université de Nice, laboratoire JAD)

Période 5-9 mars

A. HABBAL (Université de Nice laboratoire JAD / INRIA Projet OPALE)

Introduction :

La modélisation du cancer, et plus particulièrement des tumeurs solides, permet aux mathématique d'exprimer leur pouvoir de science-outil inégalable. L'utilisation des mathématiques, de l'informatique et des moyens de simulation numérique qui y sont intimement liés, a pour objectif d'aider le spécialiste, ici l'oncologue, à mieux comprendre la dynamique de la maladie, à prédire ses évolutions sur un malade donné, et à optimiser les traitements envisagés. Cet objectif, loin d'être atteint en ce début de XXIème siècle, n'est pourtant pas une utopie. De plus en plus de mathématiciens s'intéressent aux modèles de cancer, et une nouvelle discipline, le Cancer Computationnel, alliant modèles mathématiques, informatique et oncologie, est en train de faire sa place parmi les disciplines classiques de calcul scientifique. La maturité des outils de modélisation mathématique fondamentaux pour l'analyse de sensibilité et l'optimisation de forme et de topologie tels que le calcul des variations, l'homogénéisation, la théorie du contrôle et de la contrôllabilité, les algorithmes d'optimisation, nous permettent d'envisager de nouvelles applications, en modélisation du Cancer, domaine où la forme et la topologie (de la tumeur, du traitement, des organes hôtes) jouent un rôle essentiel. Ce cours peut être considéré comme une illustration des possibilités qu'offre l'application de l'optimisation dans ce domaine.

Pré-requis :

• éléments de base en analyse fonctionnelle ;

• équations aux dérivées partielles elliptiques ;

• calcul des variations ;

• connaissances de base en optimisation de forme souhaitable.

Plan du cours :

1. 1.1 Cancer, tumeurs solides et modèles mathématiques.

2. 1.2 Angiogenèse tumorale et modèles mathématiques.

3. 2.1 Eléments d'optimisation de forme

4. 2.2 Questions mathématiques relatives à l'optimisation de forme

5. 3.1 Eléments d'optimisation topologique

6. 3.2 Méthodes numériques de l'optimisation topologique

7. 4.1 Introduction à la théorie des jeux

8. 4.2 Jeux de Nash -aux dérivées partielles- topologiques

9. 5.1 Application en angiogenèse et anti-angiogenèse partie I

   5.2 Application en angiogenèse et anti-angiogenèse partie II

Bibliographie :

National Cancer Institute, Understanding angiogenesis http://press2.nci.nih.gov/sciencebehind/angiogenesis/

Y.C. Fung, Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. 2nd ed, Springer-Verlag New York Berlin Heidelberg. 1993

D. Wodarz ; N.L. Komarova, Computational Biology of Cancer, Lectures Notes and Mathematical Modeling World Scientific Pub., 2005.

Adam, John A., Diffusion models of prevascular and vascular tumor growth. A review.Lect. Notes Pure Appl. Math. 131 pp. 625-652, 1991.

Araujo R.P. McElwain D.L.S.. A History of the Study of Solid Tumour Growth: The Contribution of Mathematical Modelling, Bulletin of Mathematical Biology 66, pages 1039-1091, 2004,

N.V. Mantzaris, S. Webb, H.G. Othmer Mathematical modeling of tumor-induced angiogenesis, J. Math. Biol. 2004

J.P. Aubin, Mathematical methods of game and economic theory. North-Holland Publishing Co. Amsterdam, New York, 1979.

M.P. Bendsoe, Optimization of structural topology, shape, and material., Berlin: Springer-Verlag. 1995

A. Habbal J. Petersson and M. Thellner, Multidisciplinary Topology Optimization Solved as a Nash Game Int. J. Numer. Methods in Eng. 61, pp 949-963, 2004

A. Habbal, A Topology Nash Game for Tumoral Anti-Angiogenesis Journal of Structural Multidisciplinary Optimization- Biomedical App.volume 30(5), pages 404-412, Springer Verlag 2005.

Période 12-16 mars

P. E. Jabin (Université de Nice laboratoire JAD)

Introduction :

Bien que le cancer évoque traditionnellement l'image d'une tumeur solide, certains cancers n'atteignent jamais ce stade et la plupart passent généralement par une étape où les cellules tumorales ne forment pas encore une phase séparée. L'évolution de la maladie lors de cette

étape nécessite la prise en compte de la compétition avec le système immunitaire qui va déterminer si la cancer peut continuer à se dévélopper (en passant en phase de tumeur solide par exemple) ou non. Ce cours présentera quelques modèles utilisés pour ce problème en insistant notamment sur leur comportement en temps grand et ce qu'il semble impliquer pour la maladie.

Pré-requis :

• Eléments de base d'analyse fonctionnelle (espaces L^p)

• Théorie des distributions)

• Equations de transport

• Equations différentielles.

Plan du cours :

1. . Description simplifiee des interactions entre cellules tumorales,

cellules immunitaires et environnement (nourriture fournie par

l'organisme).

2. Dérivation du premier modèle valable pour de courtes périodes de

temps.

3. Etude de ce modèle en temps grand.

4. Correction du modèle pour des échelles de temps supérieures.

5. Prise en compte de l'effet des traitements.

Bibliographie

De Angelis E. and Mesin L., Modelling of the Immune Response: Conceptual Frameworks and Applications, Math. Models Methods Appl. Sci., 11, 1609-1630, (2001).

De Angelis E. and Jabin P.E., Qualitative analysis of a mean field model of tumour-immune system competition, Math. Models Methods. Appl. Sci., 13, 187--206, (2003).

De Angelis E., Jabin P.E., Mathematical Models of Therapeutical Actions Related to Tumour and Immune System Competition. Math. Methods Appl. Sci., 28, no. 17, 2061--2083 (2005).

Derbel L., Analysis of a new model for tumor-immune system competition including long time scale effects, Math. Models Methods. Appl. Sci., 14, 1657-1681, (2004).