Equations différentielles ordinaires en biologie
coordonné par J. L. Gouzé (INRIA Projet COMORE) et C. Lobry (INRIA Projet MERE)
Ce module a pour but de donner des bases en modélisation mathématique appliquée à la biologie, tout en rappelant des éléments mathématiques indispensables et utiles dans toute la suite du cours. Nous nous concentrerons ici sur les modèles mathématiques principalement décrits par des systèmes dynamiques en dimension finie ( souvent des équations différentielles), appliqués à la dynamique des populations et à la génétique. La principale caractéristique de ces modèles est qu'il sont non-linéaires. L'expression analytique des solutions n'est donc généralement pas possible, et il faut trouver une description qualitative la plus pertinente possible : les solutions ont elles un même comportement asymptotique ? est-il stable ? quelles sont les conséquences biologiques ? On se posera aussi des problèmes de contrôle : si une action est possible sur ce système (entrée), peut-on faire suivre à celui-ci un comportement désiré ? Comment ?
Les pré requis de ce cours sont des connaissances de type licence de mathématiques en algèbre linéaire et équations différentielles. Des travaux dirigés seront organisés.
Période
15-19 Janvier
Modèles mathématiques en dynamique des populations.
J-L Gouzé (INRIA Projet COMORE) et S. Touzeau (INRA)
Présentation :
On donne des modèles classiques en dynamique des populations, et on rappelle l'analyse géométrique d'une équation différentielle dans l'espace des états. Le but sera de savoir analyser et simuler un modèle en dimension deux.
Plan du cours :
Modèles en dimension un (logistique), modèles d'effort de pêche.
Modèles compartimentaux.
Modèles de type proie prédateur, Lotka-Volterra, bioréacteur.
Notions de système, de contrôle et d'observateur sur ces exemples.
Bibliographie :
Livres concernant les modèles en biologie :
A. Pavé (1995) Modélisation en biologie et écologie, Aléas (Lyon).
L.A. Segel (1984) Modeling dynamic phenomena in molecular and cellular biology. Cambridge Univ. Press.
J. Maynard-Smith (1974) Models in ecology. Cambridge Univ. Press.
J. D. Murray (1990) Mathematical biology. Springer.
E. C. Pielou (1977) Mathematical ecology. Wiley.
L. Edelstein- Keshet (1988 ) Mathematical models in Biology. Random House . New York (pédagogique, clair)
H. Caswell (1989). Matrix population models. Simauer Associates.
R. M. Nisbet and W. Gurney (1982) Modelling fluctuating populations. Wiley
P. Waltman, (1983) Competition models in population biology, SIAM, vol 45
Tuljapurkar, Shripad and H. Caswell(1997) Structured-population models in marine, terrestrial, and freshwater systems, Chapman & Hall, 1997
E. Beltrami (1987) Mathematics for dynamic modeling. Academic Press. (nombreux exemples biologiques)
H. L. Smith and P. Waltman. The Theory of the chemostat : dynamics of microbial competition. Cambridge univ. press, 1995 (très mathématique)
Automatique des bioprocédés, sous la direction de Denis Dochain, Hermès 2001 (modélisation et contrôle des bioprocédés)
Livres concernant plus les mathématiques (systèmes dynamiques, contrôle des systèmes):
M. Hirsch and S. Smale (1974) Differential equations, dynamical systems and linear algebra. Academic Press
L. Perko (1991) Differential equations and dynamical systems. Springer.
D. G. Luenberger (1979) Introduction to dynamic systems, Wiley. (contrôle, applications à la biologie, exemples)
J.~M. Cushing. An introduction to structured population dynamics, volume~71 of CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1998.
Quelques livres plus spécifiques à l'analyse compartimentale :
J. A. Jacquez, Compartmental analysis in biology and medicine, University of Michigan Press, An Harbor, MI, 1985 (classique)
J. A. Jacquez, C.P. Simon, Qualitative theory of compartmental systems, SIAM Review, 35, pp 43-79, 1993
L. Farina, S. Rinaldi, Positive linear systems, Wiley 2000 (pédagogique, original, donne les bases mathématiques)
Période 22-26 janvier
Ecologie des populations : Les relations entre populations
R. Arditi (Chaire d'écologie de l'INAPG) et C. Lobry (INRIA projet MERE)
Présentation :
Ce cours approfondira du point de vue de l'écologie théorique la modélisation des interactions entre population telles que les relations de prédation et de compétition. Les modèles classiques de la relation "proie - prédateur" (ou consommateur ressource) et de "compétition pour une ressource" seront analysés en détail puis comparés à des modèles plus récents où les taux de croissance des ressources ne dépendent plus seulement de l'abondance de la ressource mais aussi de celle des consommateurs.
Bibliographie :
En plus des ouvrages précédents on ajoutera deux ouvrages d'écologie théorique :
M. Begon and M. Mortimer, Population Ecology : A Unified Study of Animals and Plants / second edition, Blackwell scientific Publications, 1986.
J. P. Grover, Resource competition, Chapman & Hall , 1997
Période 29 janvier- 2 février
Modèles mathématiques autour de la génétique
T. Sari (Université de Mulhouse et INRIA Projet COMORE)
Plan du cours :
Rappels de biologie.
Modèles mathématiques classiques de réseaux génétiques et métaboliques.
Modèles basés sur des équations différentielles linéaires par morceaux. Solutions de Filippov.
Étude mathématique des solutions, stabilité.
Description qualitative des solutions par le graphe de transition.
Application à un exemple : régulation globale de la transcription chez les bactéries Escherichia coli et Synechocystis.
Bibliographie :
H. de Jong, Modeling and simulation of genetic regulatory systems: A literature survey, J. Comput. Biol., vol.9, no 1, pp.67-103, 2002.
de Jong, H., Gouzé, J.-L., Hernandez, C., Page, M., Sari, T., and Geiselmann, H. (2004). Qualitative simulation of genetic regulatory networks using piecewise-linear models. J. Math. Biol, 66:301--340.
Casey, R., de Jong, H., and Gouzé, J.-L. (2006). Piecewise-linear models of genetic regulatory networks: Equilibria and their stability. Journal of Mathematical Biology, 52:27-56.
Sur les solutions de Folippov d'une équation différentielle :
A.F. Filippov, Differential equations with discontinuous right-hand sides, Mat. Sb. 51 (1960) pp. 99-128
C. Lobry et T. Sari, Equations différentielles à second membre discontinu, dans Contrôle non linéaire et applications (T. Sari ed.), Hermann 2005.
Modèles d'allocation sexuelle
S. Ben Miled (LAMSIN - ENIT)
Présentation :
Les modèles d'allocation sexuelle ("sex allocation") permettent d'expliquer le statut sexuel : gonochorisme, hermaphrodisme, ... , des individus dans une population. Le but est de comprendre de manière évolutive les stratégies "être mâle", "femelle", "hermaphrodite" ...., ce sont des modèles issus de la théorie des jeux et de la dynamique des populations. On présentera une application à un modèle de mérous.
Bibliographie :
E. L. Charnov, The theory of sex allocation, monographs in pop biology numero 17, princeton Univ press (1982)
C. Henry, Biologie des pop animales et vegetales, dunod chapitre 6.
É. Danchin, L.-A. Giraldeau, F. Cézilly, Écologie comportementale. Cours et questions de réflexion Dunod