Plan du cours

Les débuts du calcul différentiel

L'objectif du cours est d'éclaircir les mutations qui ont eu lieu dans la pensée mathématique dans la période 1550-1650, mutations qui ont permis la création du calcul à la fin du XVIIe siècle.

On abordera les thèmes suivants :

Les nouveaux Archimèdiens

Le XVIe est le siècle de la récupération des traditions anciennes, surtout de celles archimediennes. On montrera que cette récupération n'a pas été une récupération passive ; bien au contraire elle a forcé la naissance de points de vue complètement différents de ceux qui dominaient la géométrie grecque. Avec Luca Valerio (1552-1618) et ses De centro gravitatis solidorum libri tres (1604) la géométrie de mesure classique arrive à ses colonnes d'Hercule. Les possibilités de la géométrie archimedienne sont exploitées jusqu'au but et un nouveau paradigme s'impose : la considération d'objets généraux, définis par certaines propriétés. L'inspiration de Valerio est reprise et amplifiée par Bonaventura Cavalieri (1598-1647) avec sa théorie des indivisibles. Toutefois, on montrera que, même avec Cavalieri, les contraintes du paradigme et du langage classique continuent à s'imposer.

Une nouvelle algèbre pour la géométrie

C'est avec François Viète (1540-1603) que naît le langage de l'algèbre symbolique. Surtout, ce nouveau langage est pensé et créé pour être appliqué à la résolution des problèmes géométriques. Avec René Descartes (1596-1650) ce langage deviendra plus souple et apte à étudier les problèmes indéterminés ou de lieu, problèmes que la redécouverte de l'œuvre de Pappus (1588) avait placé au centre de la recherche mathématique. Dans sa Géométrie (1637) Descartes fait naître les courbes modernes, en identifiant la courbe avec son équation algébrique.

Un nouvel objet, un nouveau problème

Après Cavalieri et après Descartes la géométrie a donc changé son visage. Un nouvel objet, la courbe-équation est naît. Il est maintenant possible de se poser des questions générales qui étaient inexprimables dans le cadre de la géométrie classique. Là où les Anciens s'étaient occupés de déterminer les propriétés de telle ou telle courbe (l'ellipse, la spirale, la quadratrice ...) maintenant on peut se poser -- comme Descartes le fait -- le problème général : déterminer la tangente à toute courbe (algébrique, bien sûr). On décrira la méthode de Descartes et on en discutera les limites et les problèmes qu'à son tour elle pose.

Le problème des tangentes et la naissance du calcul

Bientôt le problème de tangentes devient un des principaux problèmes des mathématiciens de la deuxième moitié du XVIIe. On étudiera la méthode de Fermat, le problème de la cycloïde, la méthode de Hudde, les contributions de Sluse et de Huyghens. Finalement, on abordera le mémoire de Leibniz Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus ... et singulare pro illis calculi genus qui marque la naissance du calcul différentiel.