Le cours s'attachera, au-delà de
la présentation des résultats et des théorèmes,
des méthodes et des théories, à mettre en évidence
les problèmes qui en sont l'origine, à en dégager les
conditions, à analyser leurs contextes historiques et épistémologiques.
Sur cet exemple de la théorie de la mesure et de l'intégrale,
dont on rappellera en commençant les raisons de l'importance, à
la fois théorique et pratique, on voudrait éclairer, de manière
plus générale, notre compréhension du travail mathématique
dans l'histoire. On peut en espérer en outre un rééclairage,
sinon un renouvellement, de la conception commune que nous pouvons avoir
de l'histoire des mathématiques, et de l'histoire des sciences.
Le cours pourrait comprendre les 3 parties suivantes (j'indique surtout ici
la motivation des développements envisagés) :
1. Une première "théorie de la mesure des ensembles" : Euclide
et Archimède (environ 2h).
Il s'agit dans cette première leçon
de présenter ce qui a constitué la première forme historique
d'une théorie axiomatisée de la mesure des ensembles. Cette
forme est celle du savoir mathématique grec, d'où des spécificités
remarquables qui marquent sa singularité historique de commencement.
On étudiera particulièrement la mise en œuvre, dans les Eléments
d'Euclide et quelques traités archimédiens, d'un effort, cohérent
et continu, de position d'axiomes destinés à fournir ce que
les modernes appelleraient un "fondement" à une théorie de
la "mesure d'ensembles". On constatera la présence, dans un contexte
spécifique, d'une véritable et remarquable communauté
d'essence entre les problèmes posés alors et ceux d'aujourd'hui.
2. Le concept de l'intégrale dans les figures du "calcul", des indivisibles
au calcul infinitésimal (environ 4h).
Dans ce chapitre, on tâchera de restituer
le cadre historique des différents développements ultérieurs.
C'est en effet chez Leibniz et Newton (mais on laissera de côté,
pour alléger l'exposé, ce dernier) qu'on trouve définies
pour la première fois l'intégration et la dérivation
comme opérations d'un calcul. C'est à l'intérieur de
ce calcul qu'auront lieu les conquêtes ultérieures. Là
encore, on s'attachera à montrer les conditions singulières
de formation d'un concept d'intégrale qui n'est pas encore le concept,
propre aux modernes, de l'intégrale d'une fonction, en ce qu'il reste
connexe de celui de différentielle d'une variable, mais qui n'en est
pas moins conçu comme support d'une opération définie
comme inverse de la différentiation, et susceptible, comme tel, de
conduire à une première formulation des "théorèmes
fondamentaux du calcul".
2. 1. Indivisibles et procédés
de sommation chez Cavalieri.
2. 2. Genèse et statut des opérations
fondamentales du calcul dans le "calcu différentiel" de Leibniz.
3. De Cauchy à Lebesgue : vers la théorie moderne de l'intégration
(environ 6h).
Ce dernier chapitre doit nous acheminer vers
les concepts fondamentaux de la théorie moderne. L'origine en est
la définition rigoureuse de l'intégrale définie de Cauchy,
et, peu après, la mise au point, à partir de cette définition,
d'un concept présentant un niveau suffisant de généralité
pour engendrer un bon outil analytique, l'intégrale de Riemann. A
partir de là, l'histoire du concept se confond avec celle de ses généralisations
successives. Nous n'évoquerons qu'une, historiquement la plus importante,
car elle est au fondement des extensions ultérieures, celle de Lebesgue,
et là encore, plus que les détails de la théorie, nous
nous attacherons à en explorer les conditions, historiques et épistémologiques,
de possibilité.
3.1. L'intégrale au sens de Cauchy et de Riemann.
3.2. Le concept moderne de la mesure des ensembles : de Jordan à Borel.
3.3. L'intégrale de Lebesgue : la formation du concept; sa légitimation
dans l'analyse (exemple de la recherche de la primitive d'une fonction donnée).
Une ou deux séances supplémentaires de 2h pourraient consacrées
à l'étude de textes fondamentaux pour les questions épistémologiques
soulevées dans les analyses historiques qui précèdent.
Le cours sera largement "self-contained", et on tâchera de procurer
les textes essentiels. Néanmoins, pour une première vue d'ensemble,
on peut consulter les ouvrages suivants.