2.1 Approche fréquentielle
2.2 Approche algébrique
2.3 Approche temporelle

2.1 Approche fréquentielle
2.1.1 Extension du théorème du faible gain
Soit un système incertain décrit par :

où

Théorème
Si

ont tous leurs pôles à partie réelle strictement négative, la boucle est stable pour toute matrice

satisfaisant :

si et seulement si :

ou de manière équivalente :

Démonstration
D'aprés le théorème du faible gain, une condition suffisante de la stabilité est:

Pour la nécessité de la condition, démonstration par l'absurde :

Prenons:

qui vérifie:

alors

D'aprés le théorème de Nyquist pour le cas multivariable, le système est instable, ce qui contredit l'hypothèse de départ.

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2.1.2 Extension du critère de Nyquist
Soient un système nominal et un système avec incertitude de modèle:


Système nominal	Système avec incertitude de modèle

Théoréme

Si G(p) et ont le même nombre de pôles à partie réelle positive.
Si a des pôles sur l'axe imaginaire, qui sont aussi pôles de G(p).
Si le système bouclé nominal est stable.

Le système avec incertitude de modèle est stable si pour tout p appartenant au contour de Nyquist et tout

appartenant à [0 , 1] :

Démonstration
La condition implique qu'il n'y a pas de changement du nombre de tours entourant l'origine lorsque p décrit le contour de Nyquist pour :

Corollaire
Sous les mêmes hypothèses que précédemment, le système incertain bouclé est stable si:

donc:

Démonstration

Exercices pour le cas monovariable
La condition s'écrit :

2.1.3 Exercices

Incertitude additive
Incertitude multiplicative

Incertitude additive

Soit un système avec incertitude additive:

: fonctions de transferts rationnels, propres et analytiques dans le demi plan droit.
avec:

Le système est stable si:

Soit:

Démonstration

Incertitude multiplicative

Soit un système avec incertitude multiplicative:

: fonctions de transferts rationnels, propres et analytiques dans le demi plan droit.
avec:

Le système est stable si:

Soit:

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2.2 Approche algébrique

Théorème de Kharitonov
Soit le polynôme caractéristique :

P(p) a ses racines à partie réelle négative

si et seulement si :

P₁, P₂, P₃ et P₄ sont tous des polynômes de type Hurwitz ( tous ont leurs racines à parties réelles négatives )

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2.3 Approche temporelle

Théorème de Lyapunov (Rappel)
A asymptotiquement stable si et seulement si :

ou si et seulement si :

Démonstration
Condition suffisante

Condition nécessaire :

Analyse de la stabilité robuste
Soit le système incertain :

Deux types d'incertitudes sont considérées :

2.3.1 Incertitude polytopique
2.3.2 Incertitude bornée en norme

2.3.1 Incertitude polytopique

stabilite robuste si :

Démonstration:

2.3.2 Incertitude bornée en norme

stabilite robuste si :

Démonstration:

Transformation sous forme LMI

d'aprés le complément de Schur:

Remarque

peut s'écrire :

Correspond au schéma :

par conséquent