1.1 Approche fréquentielle
1.2 Approche algébrique
1.3 Approche temporelle

1.1.1 Critère de Nyquist
1.1.2 Cas multivariable
1.1.3 Théorème du faible gain

Soit un système nominal monovariable décrit par sa fonction de transfert en boucle ouverte G(p). Le système en boucle fermée est représenté par le schéma suivant:

1.1.1 Critère de Nyquist:

Une condition nécessaire et suffisante de stabilité en boucle fermeé est que le nombre de tours de son diagramme de Nyquist autour du point (-1,0) dans le sens trigonométrique soit égal au nombre de pôles instables de la transmittance en boucle ouverte G(p).

Interprétation
Soit:

T:le nombre de tours dans le sens direct du diagramme de Nyquist autour du point critique (-1,0)
P:le nombre de pôles instables de G(p)
Z:le nombre de zéros instables de la transmittance en boucle fermée 1+G(p)

La stabilité est assurée pour Z=P-T=0.

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1.1.2 Cas multivariable
Soit un système nominal multivariable décrit par sa fonction de transfert G(p). Et soit une réalisation minimale (A, B, C, 0) de G(p):

Le polynôme caractéristique en boucle ouverte est donné par
Le polynôme caractéristique en boucle fermée est donné par

Théoréme
Le système multi variable bouclé est stable si et seulement si, lorsque p décrit le contour de Nyquist, le nombre de tours effectués autour de l'origine et dans le sens trigonométrique par det(I+G(p)) est égal aux nombre de modes instables en boucle ouverte.

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1.1.3 Théorème du faible gain

Si la transmittance en boucle ouverte G(p) est asymptotiquement stable (possède des pôles à parties réelles négatives ), alors le système en boucle fermée est stable si :

Démonstration par contradiction
Considérons un système instable en boucle fermée tel que

.
Le système en boucle ouverte est stable, alors

entoure l'origine lorsque p décrit le contour de Nyquist.
donc:

d'où:

ainsi:

ce qui contredit l'hypothèse :

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1.2 Approche algébrique

Il existe des critères algébriques permettant de tester la nature des racines d'un polynôme en p. Par exemple, le critère de Routh, permet de tester la négativité de la partie réelle de ces racines :

Soit le polynôme:

avec a_i de même signe.
A partir du tableau suivant :

où:

tester si :

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1.3 Approche temporelle

A partir du système dynamique :

la stabilite asymptotique est assurée si et seulement si tous les valeurs propres de A sont à partie réelle négative.
Condition nécessaire et suffisante (Lyapunov):

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