2.2/  LES OPÉRATEURS FLOUS

 Souvent, l'opérateur ET est réalisé par la formation du produit appliqué aux fonctions d'appartenance, selon la relation

µ_E(z)=µ_{A et B}(z)=µ_A(x).µ_B(y)                                           (2.3.1)

Il s'agit de l'opérateur produit.
Le résultat de cette opération est représentée à la figure 2.3.1. La fonction d'appartenance résultante est toujours est inférieure ou égale à 1. Elle reste donc à l'intérieur de l'intervalle défini par µ [0,1]. La règle de calcul (2.3.1) peut être étendue à plus de deux termes dans le produit lorsqu'il faut combiner trois ou plusieurs ensembles. L'opérateur produit est souvent utilisé dans le domaine de réglage et de commande par logique floue comme alternative à l'opérateur minimum.

Figure2.3.1:Opérateur ET réalisé par la fonction produit

Par analogie, on peut réaliser l'opérateur OU par la formation de la somme des fonctions d'appartenances ou plus précisément par la valeur moyenne, à savoir:

µ_O(z)=µ_{A ou B}(z)= 1/2 [µ_A(x)+µ_B(y)]                                           (2.3.2)

On parle alors de l'opérateur somme.

La figure 2.3.2 montre l'effet de cet opérateur. La somme est divisé par 2. En effet, il est fort possible que la somme [µ_A(x)+µ_B(y)] dépasse le domaine admissible [0,1]. Afin que cette somme reste dans le domaine défini, on peut l'écrêter ou la normaliser, comme effectué dans la définition 2.3.2. Dans ce cas aussi, il est possible d'étendre la règle de calcul (2.3.2) à plusieurs termes. il faut alors diviser la somme par le nombre de termes, afin d'obtenir une normalisation simple.

 Figure2.3.2:Opérateur OU réalisé par la fonction de la somme

 Les opérateurs Et flou et OU flou sont des opérateurs combinés entre l'opérateur minimum et la moyenne arithmétique.

L'opérateur Et flou est défini par:

µ_E(z)=µ_{A et B}(z)=ß min [µ_A(x),µ_B(y)] + [(1-ß)/2] [µ_A(x)+µ_B(y)]                (2.3.3)

et l'opérateur Ou flou par:

µ_O(z)=µ_{A ou B}(z)=ß max [µ_A(x),µ_B(y)] + [(1-ß)/2] [µ_A(x)+µ_B(y)]               (2.3.4)

Avec le facteur ß=1 [0,1], il est possible de pondérer l'influence des deux termes. Pour ß=1, on aboutit respectivement à l'opérateur minimal ou maximal. Par contre, pour ß=0, on obtient pour les deux opérateurs la moyenne arithmétique correspondant à l'opérateur somme selon (2.3.2). Dans ce cas, le ET flou et le OU flou se confondent. On peut étendre les deux opérateurs ET flou et le OU flou à trois ou à plusieurs termes. La somme qui apparaît entre crochets doit alors être divisé par le nombre de termes de la somme. La figure 2.3.3 représente l'opérateur ET flou et montre l'influence du facteur ß sur l'allure de la fonction d'appartenanceµ_E(z)

Figure 2.3.3:Opérateur ET flou réalisé par la relation (2.3.3)

L'influence du facteur ß sur la fonction d'appartenance résultante pour l'opérateur OU flou est mise en évidence par la figure 2.3.4

Figure 2.3.4:Opérateur OU flou réalisé par la relation (2.3.4)

Opérateurs min-max et opérateur ß

 L'opérateur min-max est défini par la combinaison des opérateurs minimum et maximum, selon

µ(z)=ß min [µ_A(x),µ_B(y)] + (1-ß) max [µ_A(x),µ_B(y)]                (2.3.5)

Le facteur ß  [0,1], permet de pondérer les deux opérateurs. Pour ß=1, on obtient l'opérateur ET, réalisé par la formation du minimum, tandis que pour ß=0, on aboutit à l'opérateur OU, réalisé par la formation du maximum. Par contre, ß=0,5 conduit à l'opérateur Ou, réalisé par la formation de la somme. La figure 2.3.5 montre de l'effet de l'opérateur min-max en fonction du facteur ß. On constate bien la grande variation de l'allure de la fonction d'appartenance résultante.

 Figure 2.3.5:Opérateur min-max réalisé par la relation (2.3.5)