2.1/  Les différentes formes des fonctions d'appartenances

Comme exemple pour les fonctions d'appartenance, on présente l'exemple de la température du réservoir d'eau (voir l'exemple introductif). Dans le cas le plus simple, on peut distinguer trois valeurs «froid», «tiède», et «chaud» de la variable linguistique «température T». Elles forment trois ensembles floues (fig 2.1.1). Ainsi, une température de 12°C appartient avec un facteur d'appartenance µ=0.8 à l'ensemble «froid» et avec µ=0.2  à l'ensemble «tiède». Evidemment, le choix caractérisant l'allure trapézoïdale de la fonction d'appartenance est assez arbitraire et doit tenir compte des circonstances particulières.

  Figure 2.1.1 :Fonctions d'appartenance avec trois ensembles pour la variable «température»

Souvent,il s'avère nécessaire d'introduire une subdivision plus fine, par exemple par 5 valeurs «très froid», «froid», «tiède», «chaud» et «très chaud» pour la variable linguistique «Température T», formant ainsi 5 ensembles comme le montre la figure 2.1.2. La température de 12° appartient, avec µ=0.25, à l'ensemble «tiède». Evidemment, cette valeur de 12° n'appartient ni à l'ensemble «chaud» ni à celui «très chaud».

 

Figure 2.1.2:Fonctions d'appartenance avec cinq ensembles pour la variable «température»



Les différentes formes des fonctions d'appartenance

 Le plus souvent, on utilise pour les fonctions d'appartenances des formes trapézoïdales ou triangulaires. Ils s'agit des formes les plus simples, composées par morceaux de droites. L'allure est complètement par des points A, B et C pour la forme triangulaire (figure 2.1.3), voire 4 points A, B, C et D pour la forme trapézoïdale (figure 2.1.4). Le triangle peut être considéré comme un cas particulier du trapèze lorsque deux points coïncident (B=D). Même la forme rectangulaire (pour représenter la logique classique) est comprise dans le trapèze si les deux premiers points (A,B) et les deux derniers points (C,D) se trouvent sur une verticale. Dans la plupart des cas, en particulier pour le réglage par logique floue, ces deux formes sont suffisantes pour délimiter des ensembles flous.

Figure 2.1.3:Fonctions d'appartenance de forme triangulaire

 

 

Figure 2.1.4:Fonctions d'appartenance de forme trapézoïdale

Il existe d'autres formes de fonctions d'appartenances, ils sont appelées des formes de cloches.

La première forme est exprimée par:

                      (2.1.1)

Elle est représentée à la figure 2.1.5. Dans ce cas, x0 détermine la position du sommet µ=1, tandis que le paramètre þ impose la largeur du domaine. A noter que cette fonction d'appartenance s'annule seulement pour x tend vers plus ou moins l'infini.

 

Figure 2.1.5:Fonction d'appartenance en forme de cloche selon la relation 2.1.1.

Une autre possibilité s'obtient à l'aide des fonctions trigonométriques. Par exemple:

                       (2.1.2)

Enfin, il est possible de composer la fonction d'appartenance par des morceaux de droites. Ainsi, on peut réaliser des formes concaves et convexes comme le montre la figure 2.1.6.

Figure 2.1.6:Fonctions d'appartenance composés par des morceaux de droites (fonctions convexes et concaves)

 

 Considérations générales sur les fonctions d'appartenances:

Les fonctions d'appartenances peuvent être symétriques et distribuées de manière équidistante, comme le montre la figure 2.1.7(a).
Une forme est définie symétrique lorsque les fonctions d'appartenance sont symétriques par rapport x=0. Par contre, la forme est définie équidistante lorsque les maxima des fonctions d'appartenances des différents ensembles sont écartées de manière équidistante.

Figure 2.1.7:

(a) Fonction d'appartenance symétrique et équidistante.

(b) Fonction d'appartenance symétrique et  non équidistante.

(c) Fonction d'appartenance non symétrique et non équidistante.

Il faut éviter des lacunes ou un chevauchement insuffisant entre les fonctions d'appartenance de deux ensembles voisins (figure 2.1.8 (a)). En effet, cela provoque des zones de non-intervention du régulateur, ce qui conduit à une instabilité de réglage.
De même, on doit éviter un chevauchement trop important, surtout avec µ=1 entre deux ensembles voisins (figure 2.1.8 (b))  

Figure 2.1.8:

(a) Fonction d'appartenance avec lacunes ou chevauchement insuffisant   

(b) Fonction d'appartenance avec chevauchement trop important   

 N.B: Les fonctions d'appartenances sont désignées par des symboles comme suit (voir l'exemple introductif):

TF  :Très froid.

F    :Froid.

T    :Tiède.

C    :Chaud.

TC :Très chaud.